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Exercícios resolvidos - Funções quadráticas

Hey, você aí que está navegando na net e não encontrou nada de legal para fazer, que tal resolver esses exercícios de matemática?

1- O conjunto-solução da equação q^4 - 13q² + 36 = 0
a) S = {2, 3}
b) S = {0, 2, 3}
c) S = {-3, -2}
d) S = {-3, -2, 2, 3}


2- O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² - 1, é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3


3- Determine o valor de m de modo que a equação 2mx² - (3m + 2)x + 3 = 0 tenha raízes reais e desiguais.


4- (UFRS) A equação 2mx² + mx + 1/2 = 0 possui 2 raízes reais distintas, então:
a) m = 0
b) m > 0
c) m < 4
d) m < 0 ou m > 4
e) 0 < m < 4


5- Na equação 2px² + 3pqx + 3q = 0, a soma das raízes é 9 e o produto é 12. Calcule p + q.


6- A parábola representativa da função f: R -> R, definida por f(x) = -2x² + bx + c, passa pelo ponto (1; 0) e seu ponto de máximo é o ponto B(3; a). Calcule a.


7- (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por C = 2510 - 100n + n². Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?


8- (Vunesp) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t², em que h é a altera atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura áxima em metros atingida pelo grilo?


9- (Udesc) Seja ABCD um quadrado de área unitária, são tomados dois pontos P pertencente a AB e Q pertencente a AD, tais que |AP| + |AQ| = |AD|. Calcule o maior valor para a área do triângulo APQ.


10- (FUVEST) O gráfico de f(x) = x² + bx + c, em que  b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1, 2)). Então f(-2/3) vale:
a) -2/9
b) 2/9
c) -1/4
d) 1/4
e) 4


11- Se f(x) = ax² + bx + c com f(2) = 4; f(0) = 2 e f(3) = 14, então a + b + c é igual a:
a) -5
b) -3
c) 0
d) 3
e) 5





Resolução:

1- 

Considerando q² = m

m² - 13m + 36 = 0

Bhaskara:

Delta = (13)² - 4(1)(36)
Delta = 169 - 144
Delta = 25

m1 = 13 + 5/2 = 9
m2 = 13 - 5/2 = 4

q² = m1
q² = 9
q = +-3

q² = m2
q² = 4
q - +- 2

S = {-3, -2, 2, 3}

Letra: D

2- 

x² = 2x² - 1
x² - 1 = 0

Bhaskara:

Delta = (0)² - 4(1)(-1)
Delta = 4

x1 = +2/2 = 1
x2 = -2/2 = -1

Letra: C

3-

Para que isso ocorre o delta deve ser ≥ 0

Delta1: (3m + 2)² - 4(2m).(3)
Delta1: 9m² + 12m + 4 ≥ 0

Delta2: (12)² - 4(9).(4)
Delta2: 0


m = 12/18
m = 2/3

Resposta: 2/3


4- 

2m² + mx + 1/2

Delta = m² - 4(2m).(1/2)
Delta = m² - 4m > 0

Delta2: 16

m1 = 4 + 4/2 = 4
m2 = 4 - 4/2 = 0

Fazendo o estudo dos sinais:

Os valores maior ou igual a zero são:

S = {x e R/  x < 0 ou m > 4}

Letra: B


5- 

2px² + 3pqx + 3q = 0
x1 + x2 = -b/a

x1 . x2 = c/a

-3pq = 9                                   
 2p                                           

-3q = 18                                    

q = -6

Substituindo em:

3q = 12
2p

3(-6) = 12(2p)
-18 = 24p

p = -3/4


Calculando p + q 
-3/4 - 6 = -27/4

Resposta: -27/4

6- 

f(x) = - 2x² + bx + c

Xv = -b/2a = 3
(como dito no enunciado, que seu ponto máximo é o ponto (3; 0))

-b/ 2(-2) = 3
b = 12


Sabendo o ponto (1; 0), vamos aplicá-lo na equação:
0 = 2(1)¹ + 12 + c
c = 10

Descobrindo o Yv:
Yv = - (12² - 4.(-2).(-10)) / 4.(-2)
Yv = - (144 - 80)/ -8
Yv = 8
(Esse é o ponto no qual quando x = 3, o y será = 8)

Resposta: a = 8

7- 

c = 2² - 100n + 2510

Xv = -b /2a
Xv = 100 / 2
Xv = 50

Resposta: 50 unidades

8- 

a) h(t) = -3t² + 3t
h = altura
t = tempo

Xv = -3/ -6
Xv = 1/2 segundo

Como é ida e volta teremos: 1/2 + 1/2 = 1 segundo


b) Yv = (9 - 4(-3.(0)) / 4.(-3)
Yv = 3/4

Yv = 0,75 metro

9- 

|AP| + |AQ| = |AD|

ABCD = 1.1 = 1 u

Adotando:

x + y = 1
y = -x + 1

Área(APQ) = x.y / 2
Substituindo y

A = x(-x + 1)/2
A - -x² + x/2

Xv = (-1/2)
       2.(-1/2)

Xv = 1/2

y = -1/2 + 1
y = 1/2

Área = (1/2 . 1/2) / 2
Área = 1/8

Resposta: 1/8

10- 

f(x) = x² + bx + c
Temos o ponto (0, 0)
Onde:
0² + 0.b + c = 0
c = 0

Temos o ponto (1, 2)
1 + b + c = 2
Como c = 0
1 + b + 0 = 2
b = 1

Substituindo na equação teremos:
f(x) = x² + x

Portanto f(-2/3) vale:

f(-2/3) = (-2/3)² + (-2/3)
f(-2/3) = -2/9

Resposta: -2/9

11- 

f(x) = ax² + bx + c

Sabendo que:
f(2) = 4
f(0) = 2
f(3) = 14

I - Substituindo f(2) = 4
4 = a(2)² + b(2) + c
4 = 4a + 2b + c

II - Substituindo f(0) = 2
a(0)² + b(0) + c = 2
c = 2

III - Substituindo f(3) = 14
9a + 3b + c = 14
Ficará então 
9a + 3b + 2 = 14


Montando um sistema com a equação I e III temos:
4a + 2b + 2 = 4 (x-3)
9a + 3b + 2 = 14 (x2)

Ficará:
-12 = -12a - 6b - 6
28 = 18a + 6b + 4

16 = 6a - 2
18 = 6a

a = 3

Substituindo na equação I:

4 = 4(3) + 2b + 2
2 = 12 + 2b
-10 = 2b

b = -5

Portanto, a + b + c
3 - 5 + 2 = 0

Letra: C



Espero que tenha ajudado vocês!!